Что является противоположностью бесконечности?

Автор статьи Акаш Пешин

Нет, ответ не ноль. Бесконечность — самое большое число, так что его противоположностью должно быть наименьшее число. Ноль же ничто, нам нужно что-то глобальнее нуля. Однако, вскоре мы поймем, что найти это что-то будет не так уж просто.

Бесконечность — это очень странно

Понятие бесконечности сбивало людей с толку со времен античности. Нужно понимать, что бесконечность — это не конкретное число, а идея; она существует только в абстракции. Бесконечность не может быть конкретным числом, назовем его х, потому что по логике, добавив к х единицу, мы создаем новую бесконечность. Затем, добавив еще единицу, создаем еще большую бесконечность. Фактически мы можем добавить бесконечность к бесконечности, чтобы создать самую большую из всех бесконечностей, но тогда мы можем добавить к этой бесконечности еще единицу и … думаю, логику вы поняли.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бесконечность. Автор Энтони Жано.

Самое маленькое число

Самое маленькое число ничем не отличается. Его природа также причудлива. В отличие от целых чисел, для дробных нет каких-либо жестких рамок. Именно это позволяет нам создавать любые промежуточные числа между двумя целыми. Может быть огромное количество комбинаций. Между 0 и 1 может быть сотня дробных чисел (от 0,01-0,99) или даже миллион, стоит лишь добавлять нули после запятой — и новые числа созданы. Таким образом, хотя 0.00000000000000001 кажется бесконечно малым, можно просто разделить его на 10, чтобы создать новое бесконечно малое — 0,000000000000000001.

Итак, бесконечно малая величина, как и бесконечность, существует только в абстракции, но ее неопределенная природа очень смущает не только математиков, но и физиков.

Бесконечно малые ошибки

Математика — это язык, который мы используем для выражения наших идей в физике, поэтому противоречивость в математике приводит к противоречивости в физике, а значит, и в наших познаниях природы и действительности. Эти противоречия возникают из-за того, что значение бесконечно малого числа до конца не определено, а ведь это понятие используют для получения многих важных формул. Фактически, математика основана на бесконечно малых числах, а без математики не развивалась бы и физика.

Отличный пример, пришедший мне на ум, — определение площади круга. Кеплер вычислил площадь круга, разделив его на треугольники. Таким образом, его площадь была бы суммой площадей каждого треугольника. Круг можно разделить на четыре треугольника через два диаметра, однако стороны этих треугольников не аппроксимируют окружность должным образом поэтому рассчитанная площадь ошибочна.

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы уменьшить эту ошибку, мы можем нарисовать больше диаметров, чтобы создать больше треугольников с более короткими сторонами. Ошибка уменьшается, но все равно ее значение велико. Итак, мы разделяем круг на все большее количество треугольников, пока не останется свободного места на окружности. Однако, чтобы полностью устранить ошибку, мы должны разделить ее на бесконечное число треугольников. Теперь их стороны можно рассматривать как часть круга. Наша окружность состоит из огромного числа бесконечно малых оснований треугольников.

Можно заметить, что последовательность треугольников напоминают китайский веер. Каждый из них занимает одинаковую площадь. Но мы можем преобразовать наш веер в прямоугольный треугольник, растягивая или видоизменяя эти области. Периметры треугольников при этом остаются прежними. Высотой этого нового прямоугольного треугольника, вершиной которого является центр круга, является длина веера — радиус нашего круга, а основание — окружность. Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту, а значит πr².

 

 

 

 

 

 

 

 

Это, конечно, правильный ответ, но результат по-прежнему содержит ошибку. Основания треугольников-сегментов должны быть бесконечно малыми. Хотя Кеплер и рисует тонкие треугольники, мы знаем, что он мог бы нарисовать их еще тоньше. Часть из них на рисунке заменены многоточием, но и оно обозначает очень-очень-очень малые основания, но все равно они конечны. Из-за этого окружность недостаточно хорошо аппроксимируется, а значит в расчете площади все еще есть ошибка. Математик, конечно, может почувствовать себя неудобно из-за этого, но большинство этот факт игнорирует, ведь полученный ответ по большому счету все равно правильный.

 

 

 

 

 

 

 

Вычисления, которые были проведены Лейбницем и Ньютоном независимо друг от друга, так же были основаны на бесконечно малых. Например, когда мы интегрируем функцию, мы по существу вычисляем площадь под кривой, которую она рисует. Однако, как и при вычислении площади круга, мы аппроксимируем кривую бесконечно малыми прямоугольниками. Чем тоньше прямоугольники, тем меньше ошибка.

 

 

 

 

 

 

 

Площадь одного прямоугольника является произведением его длины — значения на оси Y в этой точке кривой и ее ширины — бесконечно малой величины, которую мы называем «dx». Мы вычисляем площадь каждого прямоугольника и суммируем их для определения площади под заданной кривой. Это очень полезно в физике; например, площадь под кривые скорости тела дает значение его перемещения. Но тогда результат этих вычислений также не должен содержать ошибку?

Эта неистребимая, неразрешимая проблема беспокоила математиков в течение двух столетий. Пока не была дополнена концепция пределов. Пределы были описаны в работах Ньютона и Лейбница. Но позже, в начале 1800-х они были переосмыслены. Новые идеи были математически строгими и последовательными. Детали выходят за рамки этой статьи, но пределы позволили математикам окончательно избавиться от бесконечно малых чисел.Ō

Анастасия Савченко
Анастасия Савченко
Редактор, переводчик, сценарист. "Я многое умею. И уверенна, что могу научится делать гораздо больше."